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考研数学经典错误例题集锦

来源:www.pamhalpinlaw.net 时间:2024-05-13 03:48:33 作者:我爱数学网 浏览: [手机版]

考研数学经典错误例题集锦(1)

考研数学是考研中最难的科之一,许多考生备考过程中遇到各种各样的问题我.爱.数.学.网。其中,经典错误例题是考生容犯的错误之一。本将介绍一些考研数学经典错误例题,并提供解题思路和方法,帮助考生避免犯错。

例题一:求解方程组

$$

  \begin{cases}

  x+y=2 \\

x-y=0

  \end{cases}

  $$

  解:将第二方程式两边同时乘以 $-1$,得到 $-x+y=0$,将两方程式相加,得到 $2y=2$,解得 $y=1$,入第一方程式,得到 $x=1$。因,方程组的解为 $(1,1)$。

例题二:求函数的极值

  已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$,求其极值我+爱+数+学+网

  解:首先,求导数 $f'(x)=3x^2-6x+2$,令其为 $0$,解得 $x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。将 $x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 入 $f(x)$,得到 $f\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{5\sqrt{3}}{9}+\frac{8}{3}$,将 $x=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 入 $f(x)$,得到 $f\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{5\sqrt{3}}{9}+\frac{8}{3}$。因,函数 $f(x)$ 的极大值为 $\frac{5\sqrt{3}}{9}+\frac{8}{3}$,极小值为 $-\frac{5\sqrt{3}}{9}+\frac{8}{3}$。

考研数学经典错误例题集锦(2)

例题三:求函数的反函数

  已知函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}$,求其反函数。

  解:设 $y=f(x)$,则 $x=f^{-1}(y)$我.爱.数.学.网。将 $y=\frac{1}{x+1}$ 入,得到 $x=\frac{1}{y}-1$,因 $f^{-1}(y)=\frac{1}{y}-1$。因,函数 $f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-1$。

例题四:求函数的导数

已知函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}$,求其导数。

解:由链式法则,有 $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。因,函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$我+爱+数+学+网

考研数学经典错误例题集锦(3)

例题五:求极限

  求 $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x}{\sin3x}$。

  解:将 $\sin2x$ 和 $\sin3x$ 展开,得到 $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{2x}{3x}\cdot\frac{\cos2x}{\cos3x}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}= \frac{2}{3}$。因,$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x}{\sin3x}=\frac{2}{3}$。

例题六:求曲线的弧长

  已知曲线 $y=x^2$,$x\in[0,1]$,求其弧长。

解:由弧长公式,有 $L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(y')^2}dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{1+u^2}du$,其中 $u=2x$我.爱.数.学.网。令 $u=\tan t$,则 $du=\sec^2t dt$,因 $L=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\tan^2t}\cdot\sec^2t dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec^3t dt$。将 $\sec t$ 展开,得到 $L=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\cos t}+\cos t\right)\cdot\sec t dt=\frac{1}{2}\left[\ln(\sec t+\tan t)+\frac{1}{2}\ln(\sec t-\tan t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})+\frac{1}{4}\ln(3-\sqrt{2})$。因,曲线 $y=x^2$,$x\in[0,1]$ 的弧长为 $L=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})+\frac{1}{4}\ln(3-\sqrt{2})$。

  综上所述,考研数学经典错误例题集锦中的例题都是考研数学中常见的题型,通过掌解题思路和方法,考生可以避免犯错,提高考试成绩。

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