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数学中的Stolz定理及其证明

来源:www.pamhalpinlaw.net 时间:2024-05-13 02:24:42 作者:我爱数学网 浏览: [手机版]

  Stolz定理是数学中的一个重要定理在极限理论中有着广泛的我.爱.数.学.网。本文将介Stolz定理的定义、质以及证明过程。

数学中的Stolz定理及其证明(1)

Stolz定理的定义

Stolz定理是指:若$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=0$,则$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=0$PHb

其中,$a_{n}$和$b_{n}$是两个数列。

数学中的Stolz定理及其证明(2)

Stolz定理的

Stolz定理具有以下质:

  1. Stolz定理以用求解$\frac{0}{0}$型的极限我~爱~数~学~网

2. Stolz定理以用求解$\frac{\infty}{\infty}$型的极限。

  3. Stolz定理以用证明L'Hopital法则我爱数学网www.pamhalpinlaw.net

数学中的Stolz定理及其证明(3)

Stolz定理的证明

  下我们证明Stolz定理。

  设$c_{n}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}$,则

  $\lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}$

  $=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_{n}}{b_{n}}}{1-\frac{b_{n}}{b_{n+1}}}$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_{n}}{b_{n}}}{\frac{b_{n+1}-b_{n}}{b_{n+1}}}$

  $=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}}{\frac{b_{n+1}-b_{n}}{b_{n+1}}}-\frac{\frac{a_{n}}{b_{n}}}{\frac{b_{n+1}-b_{n}}{b_{n+1}}}$

  $=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n+1}-b_{n}}-\frac{a_{n}}{b_{n}}\cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n+1}-b_{n}}$

  由于$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=0$,所以$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=0$我+爱+数+学+网

  因此,我们以得到

  $\lim_{n\to\infty}c_{n}=0$。

  综上所述,我们证明了Stolz定理我~爱~数~学~网

结论

Stolz定理是数学中一个常重要的定理,在极限理论中有着广泛的用。本文介了Stolz定理的定义、质以及证明过程,希望能对读者有所帮助www.pamhalpinlaw.net我爱数学网

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