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初中数学竞赛定理讲解

来源:www.pamhalpinlaw.net 时间:2024-03-29 05:12:30 作者:我爱数学网 浏览: [手机版]

初中数学竞赛是个很好的锻数学能的途径,但是要想在竞赛中获得好成绩,必须要掌握些重要的数学定理欢迎www.pamhalpinlaw.net。本文将为大家介绍些初中数学竞赛中常用的定理,并且给出详细的讲解和例题。

初中数学竞赛定理讲解(1)

1. 勾股定理

勾股定理是初中数学竞赛中最基础的定理之,它的表述为:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即:$a^2 + b^2 = c^2$(其中a、b为直角边,c为斜边)

  例题:已知直角三角形的斜边长为5,条直角边长为3,求另条直角边长。

解:根据勾股定理,设另条直角边长为x,则有:$x^2 + 3^2 = 5^2$

  化简得:$x^2 = 16$

  解得:$x=4$

  此,另条直角边长为4。

初中数学竞赛定理讲解(2)

2. 平面几何基本定理

  平面几何基本定理包括了平线定理、垂直线定理、角平分线定理、中垂线定理等。这些定理在初中数学竞赛中经常用到,下面我们分别进讲解。

2.1 平线定理

线定理是指:果两条直线与第三条直线相交,使得同侧内角和小于180度,那这两条直线必定平

即:若$AB\parallel CD$,则$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D = 180^\circ$

  例题:图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(4,5),C(2,6),D(x,3)。若AB平于CD,求x的值。

  ![image](https://user-images.githubusercontent.com/83950524/135748569-9f1e6f7f-7c6c-4b3c-9db7-9f0b8d2e2d6b.png)

  解:为AB平于CD,所以$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D = 180^\circ$

  为$\angle A = 90^\circ$,$\angle C = 90^\circ$,所以$\angle B = \angle D$

为AB平于CD,所以$\angle B$和$\angle D$为同侧内角,所以$\angle B + \angle D < 180^\circ$

此,$\angle B = \angle D = 90^\circ$,即CD垂直于x轴,设CD的方程为$y=k$,则有:

$\begin{cases}y-2=k(x-1)\\y-5=k(x-4)\end{cases}$

  解得:$k=-\frac{3}{2}$

为CD垂直于x轴,所以$k=0$,此$x=2$我~爱~数~学~网

  2.2 垂直线定理

  垂直线定理是指:果两条直线相交,使得相邻角互,那这两条直线必定垂直。

  即:若$AB\perp CD$,则$\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 90^\circ$

  例题:图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(4,5),C(2,6),D(x,y)。若AB垂直于CD,求点D的坐标。

  ![image](https://user-images.githubusercontent.com/83950524/135748644-5e4a7a6f-1a1e-4f9c-9c1a-8b1f996a9f6f.png)

  解:为AB垂直于CD,所以$\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 90^\circ$

为$\angle A = 90^\circ$,$\angle B = 90^\circ$,所以$\angle C + \angle D = 90^\circ$

设CD的方程为$y=kx+b$,则有:

$\begin{cases}y-2=k(x-1)\\y-5=k(x-4)\end{cases}$

  解得:$k=-\frac{3}{2}$,$b=\frac{13}{2}$

  此,CD的方程为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}$

为CD垂直于AB,所以$\frac{3}{2}\cdot(-1)=-1\cdot\frac{2}{3}$

此,CD的斜率为$\frac{2}{3}$,且过点D(x,y)

  此,CD的方程为$y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$

  解得:$x=3$,$y=4$

  此,点D的坐标为(3,4)。

  2.3 角平分线定理

角平分线定理是指:在个三角形中,角平分线把对角线分成的两条线段的比等于另外两条边的比。

  即:$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

  例题:图,在三角形ABC中,角BAC的角平分线AD与BC相交于点D,且BD=4,DC=3,AC=5,求AB的长度。

  ![image](https://user-images.githubusercontent.com/83950524/135748726-5a2c6d7f-2c3c-4f7b-9c5d-4ce8c1b9e5c6.png)

解:根据角平分线定理,$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

代入已知条件,得:$\frac{4}{3}=\frac{AB}{5}$

解得:$AB=\frac{20}{3}$

  此,AB的长度为$\frac{20}{3}$。

2.4 中垂线定理

  中垂线定理是指:在个三角形中,三条中垂线交于点,且这个点到三角形三个顶点的距离相等。

即:三角形的三条中垂线交于点O,且OA=OB=OC。

例题:图,在三角形ABC中,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,求三角形DEF的外接圆半径www.pamhalpinlaw.net

  ![image](https://user-images.githubusercontent.com/83950524/135748787-5c6a5f1d-9f6f-4c5d-9c4f-6f3c9a5c5b71.png)

  解:为D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,所以AD、BE、CF是三角形ABC的三条中垂线,且交于点O。

  为OA=OB=OC,所以O是三角形ABC外接圆的圆心。

  为DEF是ABC的中心三角形,所以DEF的外接圆半径等于OA的长度。

  此,DEF的外接圆半径等于三角形ABC外接圆半径,即$\frac{5}{2}$。

3. 三角函数基本关系式

三角函数基本关系式包括正弦定理、余弦定理、正切定理等。这些定理在初中数学竞赛中经常用到,下面我们分别进讲解。

  3.1 正弦定理

正弦定理是指:在个三角形中,任意两边的比等于这两边对应角的正弦值的比。

即:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

  例题:图,在三角形ABC中,已知$\angle A=60^\circ$,$AB=3$,$AC=4$,求BC的长度。

  ![image](https://user-images.githubusercontent.com/83950524/135748874-7d3b3e8b-5b5f-4c8a-8d5a-1f8b6e4c7c36.png)

  解:根据正弦定理,$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

  代入已知条件,得:$\frac{BC}{\sin 60^\circ}=\frac{3}{\sin B}=\frac{4}{\sin C}$

化简得:$\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sin B}=\frac{4}{\sin (180^\circ-60^\circ-B)}$

解得:$\sin B=\frac{3\sqrt{3}}{8}$,$\sin (180^\circ-60^\circ-B)=\frac{1}{8}$

  此,$BC=2\sqrt{3}$。

  3.2 余弦定理

  余弦定理是指:在个三角形中,任意条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两条边乘以对应角的余弦值的积原文www.pamhalpinlaw.net

即:$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

  例题:图,在三角形ABC中,已知$\angle A=60^\circ$,$AB=3$,$AC=4$,求BC的长度。

  ![image](https://user-images.githubusercontent.com/83950524/135748874-7d3b3e8b-5b5f-4c8a-8d5a-1f8b6e4c7c36.png)

解:根据余弦定理,$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

代入已知条件,得:$BC^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\cos 60^\circ$

  化简得:$BC^2=7$

此,$BC=\sqrt{7}$。

  3.3 正切定理

  正切定理是指:在个直角三角形中,斜边与任意条直角边的比等于对应角的正切值。

  即:$\tan A=\frac{BC}{AB}$,$\tan B=\frac{AC}{AB}$

  例题:已知直角三角形的条直角边长为3,另条直角边长为4,求斜边长和两个锐角的正切值。

  解:根据勾股定理,斜边长为5。

  此,$\tan A=\frac{4}{3}$,$\tan B=\frac{3}{4}$。

4. 组合数学基本定理

  组合数学基本定理包括了排列组合、二项式定理等。这些定理在初中数学竞赛中经常用到,下面我们分别进讲解。

4.1 排列组合

  排列组合是指:从n个不同元中,取出m个元的所有不同排列或组合的数量。

排列公式:$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

  组合公式:$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

  例题:从1、2、3、4、5中取出3个数字,求这3个数字的所有排列和组合的数量来自www.pamhalpinlaw.net

解:排列数量为$A_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=60$。

组合数量为$C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10$。

  4.2 二项式定理

  二项式定理是指:$(a+b)^n$的展开式中,各项系数的规律。

  $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k$

  例题:展开$(x+y)^4$。

  解:根据二项式定理,$(x+y)^4=C_4^0x^4+C_4^1x^3y+C_4^2x^2y^2+C_4^3xy^3+C_4^4y^4$

  化简得:$(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$。

初中数学竞赛定理讲解(3)

总结

  初中数学竞赛中的定理有很多,本文只介绍了些常用的定理。在实际应用中,还需要根据题目的要求灵活运用不同的定理。希望本文能够帮助大家提高数学竞赛的成绩。

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