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多元不等式在数学竞赛中的应用

来源:www.pamhalpinlaw.net 时间:2024-03-28 06:19:16 作者:我爱数学网 浏览: [手机版]

本文目录一

多元不等式在数学竞赛中的应用(1)

什么是多元不等式

  多元不等式是含有多个变量的不等式,例如:

  $x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$

  其中,$x,y,z$为变量,$\geq$表示于等于关系我_爱_数_学_网

多元不等式在数学竞赛中的应用(2)

多元不等式的解法

  对于多元不等式,们可以使用以下方法进行求解:

1. 分变量法

变量法是将多元不等式中的变量分出来,使得不等式变成单变量的形式,例如:

$x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$

可以将$x,y,z$分别除以$\sqrt[3]{xyz}$,得到:

  $\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq3$

  令$a=\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}},b=\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}},c=\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}$,则不等式变成:

  $a+b+c\geq3$

  这是一个单变量不等式,可以使用一元不等式的求解方法进行求解我 爱 数 学 网

2. 代换法

  代换法是将多元不等式中的些变量用其他变量表示出来,例如:

$x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$

可以令$a=x+y,b=xy$,则不等式变成:

  $a+\sqrt{b}\geq3\sqrt[3]{ab}$

  这是一个二元不等式,可以使用二元不等式的求解方法进行求解我~爱~数~学~网

  3. 辅助函数法

  辅助函数法是构造一个辅助函数,使得不等式变成该函数的形式,例如:

  $x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$

  可以构造函数$f(x,y,z)=x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}$,则不等式可以写成$f(x,y,z)\geq0$的形式www.pamhalpinlaw.net们可以证明,当$f(x,y,z)\geq0$不等式成立欢迎www.pamhalpinlaw.net

多元不等式在数学竞赛中的应用

  多元不等式在数学竞赛中经常出现,例如IMO、USAMO等国际数学竞赛中的我~爱~数~学~网。以下是一道经典的IMO目:

  目:

  设$a,b,c$为正实数,证明:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{c+a}$

解答:

  将不等式化简,得到:

$\frac{a}{b}-\frac{a+b}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b+c}{a+b}+\frac{c}{a}-\frac{c+a}{c+b}\geq0$

化简得到:

$\frac{(a-b)(c-a)}{ac}+\frac{(b-c)(a-b)}{ab}+\frac{(c-a)(b-c)}{bc}\geq0$

  根据多元不等式的知识,们可以将不等式转化为单变量不等式的形式,例如:

  令$x=\frac{a-b}{b-c},y=\frac{b-c}{c-a},z=\frac{c-a}{a-b}$,则不等式可以写成:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq0$

  这是一个单变量不等式,可以使用一元不等式的求解方法进行求解我+爱+数+学+网

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